Question

8．设函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0），在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）上既无最大值，也无最小值，且-f（$\frac{π}{2}$）=f（0）=f（$\frac{π}{6}$），则下列结论成立的是 （　　）

• A． 若f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）对?x∈R恒成立，则|x₂-x₁|_min=π
• B． y=f（x）的图象关于点（-$\frac{2π}{3}$，0）中心对称
• C． 函数f（x）的单调区间为：[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]（k∈Z）
• D． 函数y=|f（x）|（x∈R）的图象相邻两条对称轴之间的距离是$\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 对于A：根据条件先求出函数的解析式，根据条件判断f（x₁）为函数的最小值，f（x₂）为函数的最大值，即可；
对于B：根据函数的对称性进行判断；
对于C：求出角的范围，结合三角函数的单调性进行判断；
对于D：根据函数的对称性以及对称轴之间的关系进行判断．

解答 解：∵在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）上既无最大值，也无最小值，
∴（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）是函数的一个单调区间，区间长度为$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$，
即函数的周期T≥2×$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，即$\frac{2π}{ω}$≥$\frac{2π}{3}$，则0＜ω≤3．
∵f（0）=f（$\frac{π}{6}$），
∴x=$\frac{0+\frac{π}{6}}{2}$=$\frac{π}{12}$是函数的一条对称轴，
∵-f（$\frac{π}{2}$）=f（$\frac{π}{6}$），
∴x=$\frac{\frac{π}{2}+\frac{π}{6}}{2}$=$\frac{π}{3}$，即（$\frac{π}{3}$，0）是函数的一个对称中心，
则 $\frac{π}{12}$ω+φ=$\frac{π}{2}$①，$\frac{π}{3}$ω+φ=π②，由①②解得ω=2，φ=$\frac{π}{3}$，
即f（x）=Asin（2x+$\frac{π}{3}$），函数的周期T=π，
对于A若f（x₁）≤f（x₂）对任意实数x恒成立，
则f（x₁）为函数的最小值，f（x₂）为函数的最大值，
则|x₂-x₁|=$\frac{T}{2}$•k=k•$\frac{π}{2}$，即x₂-x₁必定是$\frac{π}{2}$的整数倍正确，故A错误；
对于Bx=-$\frac{2π}{3}$时，f（x）=Asin（-$\frac{5π}{3}$），不对称，故B错误；
对于C：当x∈[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]（k∈Z），
则2x∈[2kπ+$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{7π}{12}$]（k∈Z），
2x+$\frac{π}{3}$∈[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]（k∈Z），
则此时函数单调递减，
即函数f（x）在每一个[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]（k∈Z）上具有严格的单调性正确，
故C正确．
对于D：对于函数y=|f（x）|（x∈R）的图象，
则当x=-$\frac{5π}{12}$时，y=|Asin（2×（-$\frac{5π}{12}$）+$\frac{π}{3}$）=|Asin（$\frac{π}{3}$-$\frac{5π}{6}$）|=|Asin$\frac{π}{2}$|=A，为最值，则-$\frac{5π}{12}$一定是一条对称轴，
且相邻两条对称轴之间的距离是$\frac{T}{4}$=$\frac{π}{4}$；故D错误；
故选：C．

点评 本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．