Question

13．下列命题中，是假命题的是（　　）

• A． ?x＞0，x＞lnx
• B． ?x₀∈R，tanx₀=2016
• C． ?x₀∈R，sinx₀+cosx₀=$\sqrt{3}$
• D． ?x∈R，2^x＞0

Answer 1

分析 构造函数f（x）=x-lnx，可得当x=1时，f（x）取最小值1，进而可判断A；
根据tanx∈R可判断B；
根据sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）=[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，可判断C；
根据2^x∈（0，+∞），可判断D．

解答 解：令f（x）=x-lnx，则f′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，函数为减函数，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数为增函数，
故当x=1时，f（x）取最小值1，
即?x＞0，x＞lnx为真命题；
tanx∈R，故?x₀∈R，tanx₀=2016为真命题；
sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）=[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
$\sqrt{3}$∉[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
故?x₀∈R，sinx₀+cosx₀=$\sqrt{3}$为假命题；
2^x∈（0，+∞），
故?x∈R，2^x＞0为真命题；
故选：C

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的值域，全称命题，特称命题，难度中档．