Question

3．已知f（x）=x²-ax+1（a为常数），
（1）若f（x）的图象与x轴有唯一的交点，求a的值；
（2）若f（x）在区间[a-1，a+1]为单调函数，求a的取值范围；
（3）求f（x）在区间[0，2]内的最小值．

Answer 1

分析 （1）令判别式△=0解出a；
（2）根据单调性得出对称轴在区间[a-1，a+1]外边们列出不等式解出；
（3）讨论对称轴和区间[0，2]的位置关系得出f（x）的单调性，利用单调性求出最小值．

解答 解：（1）若f（x）的图象与x轴有唯一的交点，
则方程x²-ax+1=0有唯一解，
∴△=a²-4=0，∴a=±2．
（2）f（x）的对称轴为x=$\frac{a}{2}$，
∵f（x）在[a-1，a+1]上单调，
∴$\frac{a}{2}$≤a-1或$\frac{a}{2}$≥a+1，
解得a≥2或a≤-2．
（3）f（x）的对称轴为x=$\frac{a}{2}$，开口向上．
若$\frac{a}{2}$≤0，即a≤0，则f（x）在[0，2]上单调递增，
∴f_min（x）=f（0）=1；
若0＜$\frac{a}{2}$＜2，即0＜a＜4时，f（x）在[0，2]上先减后增，
∴f_min（x）=f（$\frac{a}{2}$）=1-$\frac{{a}^{2}}{4}$；
若$\frac{a}{2}≥2$，即a≥4，则f（x）在[0，2]上单调递减，
∴f_min（x）=f（2）=5-2a．
综上，当a≤0时，f_min（x）=1；
当0＜a＜4时，f_min（x）=1-$\frac{{a}^{2}}{4}$；
当a≥4，f_min（x）=5-2a．

点评 本题考查了二次函数的单调性判断，最值计算，分类讨论思想，属于中档题．