Question

11．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=$\frac{1}{2}$，且椭圆C经过点P（2，3），过椭圆C的左焦点F₁且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A，B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求△PF₁G的面积S的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2c，b²=a²-c²=3c²，将点P（2，3），代入即可求得a和b的值，求得椭圆C的方程；
（2）设直线AB方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，由韦达定理及中点坐标公式求得M（-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{6k}{4{k}^{2}+3}$），求得MG的方程为y-=-$\frac{1}{k}$（x-x₀），由x_G∈（-$\frac{1}{2}$，0），${S}_{P{F}_{1}G}$=$\frac{1}{2}$丨F₁G丨•丨y_P丨=$\frac{3}{2}$丨x_G+2丨，即可求得△PF₁G的面积S的取值范围．

解答 解：（1）由题意可知：焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2c，
b²=a²-c²=3c²，
将P（2，3）代入椭圆方程：$\frac{4}{4{c}^{2}}+\frac{9}{3{c}^{2}}=1$，解得：c²=4，
∴a²=16，b²=12，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；
（2）设直线AB方程为y=k（x+2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点M（x₀，y₀），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，
整理得：（3+4k²）x²+16k²x+16（k²-3）=0，
由△＞0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{16{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，x₁•x₂=-$\frac{16（{k}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$，
则x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，y₀=k（x₀+2）=$\frac{6k}{4{k}^{2}+3}$，
M（-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{6k}{4{k}^{2}+3}$），
线段AB的垂直平分线MG的方程为y-=-$\frac{1}{k}$（x-x₀），
令y=0，得x_G=x₀+ky₀=-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{6{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$=-$\frac{2}{4+\frac{3}{{k}^{2}}}$，
由k≠0，
∴-$\frac{1}{2}$＜x_G＜0，
由${S}_{P{F}_{1}G}$=$\frac{1}{2}$丨F₁G丨•丨y_P丨=$\frac{3}{2}$丨x_G+2丨，x_G∈（-$\frac{1}{2}$，0），
∴S求△PF₁G的面积的取值范围是（$\frac{9}{4}$，3）．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式及三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中档题．