Question

1．对任意实数λ，直线l₁：x+λy-m-λn=0与圆C：x²+y²=r²总相交于两不同点，则直线l₂：mx+ny=r²与圆C的位置关系是（　　）

• A． 相离
• B． 相交
• C． 相切
• D． 不能确定

Answer 1

分析 由直线l₁的方程可得它经过定点（m，n），结合条件可得点（m，n）在圆C的内部，故有 m²+n²＜r²．再求得点C到直线l₂的距离为d＞半径r，可得直线l₂与圆C的位置关系是相离．

解答 解：由直线l₁：x+λy-m-λn=0 即 （x-m）+λ（y-n）=0，显然直线l₁：经过定点（m，n）．
再根据l₁与圆C：x²+y²=r²总相交于两不同点，可得点（m，n）在圆C的内部，∴m²+n²＜r²．
再根据点C到直线l₂的距离为d=$\frac{|0+0+{r}^{2}|}{\overline{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}}$=$\frac{{r}^{2}}{\overline{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}}$＞$\frac{{r}^{2}}{r}$=r，
故直线l₂：mx+ny=r²与圆C的位置关系是 相离，
故选：A．

点评 本题主要考查直线过定点问题，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系的判断方法，属于中档题．