Question

9．如图，平行六面体ABCDA₁B₁C₁D₁中，$\overrightarrow{AB}$=a，$\overrightarrow{AD}$=b，$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=c，E为A₁D₁的中点，F为BC₁与B₁C的交点，
（1）用基底{a，b，c}表示下列向量：$\overrightarrow{D{B}_{1}}$，$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{AF}$；
（2）在图中画出$\overrightarrow{D{D}_{1}}$+$\overrightarrow{DB}$+$\overrightarrow{CD}$化简后的向量．

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{DB1}$=$\overrightarrow{DC}$+$\overrightarrow{CB1}$=$\overrightarrow{DC}$+$\overrightarrow{BB1}$-$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AA1}$+$\overrightarrow{A1E}$，$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BF}$．由此能求出结果．
（2）$\overrightarrow{DD1}$+$\overrightarrow{DB}$+$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{DD1}$+（$\overrightarrow{CD}$+$\overrightarrow{DB}$）=$\overrightarrow{DD1}$+$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{DD1}$+$\overrightarrow{D1A1}$=$\overrightarrow{DA1}$．由此能求出结果．

解答 （本题满分10分）
解：（1）$\overrightarrow{DB1}$=$\overrightarrow{DC}$+$\overrightarrow{CB1}$=$\overrightarrow{DC}$+$\overrightarrow{BB1}$-$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$，
$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AA1}$+$\overrightarrow{A1E}$
=-$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$，
$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）=$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{c}$．
（2）$\overrightarrow{DD1}$+$\overrightarrow{DB}$+$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{DD1}$+（$\overrightarrow{CD}$+$\overrightarrow{DB}$）=$\overrightarrow{DD1}$+$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{DD1}$+$\overrightarrow{D1A1}$=$\overrightarrow{DA1}$．
连接DA₁，则$\overrightarrow{DA1}$即为所求．

点评 本题考查向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量加法法则的合理运用．