Question

16．求下列各曲线的标准方程．
（1）实轴长为12，离心率为$\frac{2}{3}$，焦点在x轴上的椭圆；
（2）圆心为点C（8，-3），且过点A（5，1）求圆的标准方程；
（3）已知抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-$\frac{1}{4}$，求抛物线的标准方程；
（4）已知双曲线的焦点在x轴上，且过点（$（-\sqrt{2}$，-$\sqrt{3}$），（$\frac{{\sqrt{15}}}{3}$，$\sqrt{2}$），求双曲线的标准方程．

Answer 1

分析 （1）设出椭圆的标准方程，利用实轴长为12，离心率为$\frac{2}{3}$，即可求得几何量，从而可得椭圆的标准方程；
（2）根据圆心坐标与半径，可直接写出圆的标准方程；
（3）设抛物线方程为y²=2px（p＞0），根据题意建立关于p的方程，解之可得p=$\frac{1}{2}$，得到抛物线方程；
（4）设双曲线方程为mx²-ny²=1（m＞0，n＞0），代入点$（-\sqrt{2}$，-$\sqrt{3}$），（$\frac{{\sqrt{15}}}{3}$，$\sqrt{2}$），可得方程组，求出m，n，即可求双曲线的标准方程．

解答 解：（1）设椭圆的标准方程为 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）
∵实轴长为12，离心率为$\frac{2}{3}$，
∴a=6，$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$，
∴c=4，∴b²=a²-c²=20
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1；
（2）依题意得，该圆的半径为：$\sqrt{（5-8）^{2}+（1+3）^{2}}$=5．
所以圆的标准方程是（x-8）²+（y+3）²=25；
（3）由题意，设抛物线的标准方程为y²=2px（p＞0），
∵抛物线的准线方程为x=-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{p}{2}$=$\frac{1}{4}$，解得p=$\frac{1}{2}$，
故所求抛物线的标准方程为y²=x．
（4）设双曲线方程为mx²-ny²=1（m＞0，n＞0），
代入点$（-\sqrt{2}$，-$\sqrt{3}$），（$\frac{{\sqrt{15}}}{3}$，$\sqrt{2}$），可得$\left\{\begin{array}{l}{2m-3n=1}\\{\frac{5m}{3}-2n=1}\end{array}\right.$，
∴m=1，n=$\frac{1}{3}$，
∴双曲线的标准方程为x²-$\frac{1}{3}$y²=1．

点评 本题给出抛物线的准线，求抛物线的标准方程，着重考查了抛物线的定义与标准方程的知识，考查双曲线方程，圆的标准方程，属于基础题．