Question

1．在公差不为0的等差数列{a_n}中，a₂、a₄、a₈成公比为a₂的等比数列，又数列{b_n}满足b_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{{a}_{n}}，n=2k-1，k∈N*}\\{2{a}_{n}，n=2k，k∈N*}\end{array}\right.$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和为T_n；
（3）令c_n=$\frac{{b}_{2n-1}}{{b}_{2n}}$（n∈N^*），求使得c_n＞10成立的n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}公差为d，由题设得：${a}_{4}^{2}={a}_{2}{a}_{8}$，${a}_{4}={a}_{2}^{2}$，$（{a}_{1}+3d）^{2}=（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+7d）$，a₁+3d=$（{a}_{1}+d）^{2}$，解出即可得出．
（2）由（1）知：b_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n}，n=2k-1}\\{2n，n=2k}\end{array}\right.$，k∈N^*．对n分类讨论，利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．
（3）由（2）知，c_n=$\frac{{b}_{2n-1}}{{b}_{2n}}$=$\frac{{2}^{2n-1}}{4n}$，可得$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$=$\frac{4n}{n+1}$＞1，利用其单调性即可得出．

解答 解：（1）设数列{a_n}公差为d，由题设得：${a}_{4}^{2}={a}_{2}{a}_{8}$，${a}_{4}={a}_{2}^{2}$，
即$（{a}_{1}+3d）^{2}=（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+7d）$，a₁+3d=$（{a}_{1}+d）^{2}$，
  解得a₁=d=1．
∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=1+（n-1）=n．
（2）由（1）知：b_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n}，n=2k-1}\\{2n，n=2k}\end{array}\right.$，k∈N^*．
①当n为偶数，即n=2k时，奇数项和偶数项各$\frac{n}{2}$项，
∴T_n=（4+8+…+2n）+（2+2³+…+2^n-1）
=$\frac{\frac{n}{2}（4+2n）}{2}$+$\frac{2（{4}^{\frac{n}{2}}-1）}{4-1}$=$\frac{1}{3}•{2}^{n+1}$+$\frac{1}{2}{n}^{2}$+n-$\frac{2}{3}$．
②当n为奇数，即n=2k-1时，n+1为偶数．
∴T_n=T_n+1-a_n+1=$\frac{1}{3}×{2}^{n+2}$+$（\frac{n+1}{2}）^{2}$+（n+1）-$\frac{2}{3}$-2（n+1）=$\frac{1}{3}×{2}^{n+2}$+$\frac{{n}^{2}}{2}$-$\frac{7}{6}$．
综上：T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}•{2}^{n+1}+\frac{{n}^{2}}{2}+n-\frac{2}{3}，n=2k}\\{\frac{1}{3}×{2}^{n+2}+\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{7}{6}，n=2k-1}\end{array}\right.$，k∈N^*．
（3）由（2）知，c_n=$\frac{{b}_{2n-1}}{{b}_{2n}}$=$\frac{{2}^{2n-1}}{4n}$，
∵$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$=$\frac{\frac{{2}^{2（n+1）-1}}{4（n+1）}}{\frac{{2}^{2n-1}}{4n}}$=$\frac{4n}{n+1}$＞1，
∴数列{c_n}是递增数列．
∵c₄=8，c₅=$\frac{128}{5}$＞10，
∴使得c_n＞10成立的n的取值范围为n≥5，n∈N^*．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．