Question

9．设函数f（x）=2cos（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$）+1
（1）求f（x）的最小正周期；对称轴方程和对称中心的坐标
（2）求f（x）在区间[0，2π]的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用函数的周期的求法，求解周期，利用余弦函数的对称轴对称中心求解即可．
（2）求出相位的范围，利用余弦函数的最值求解即可．

解答 解：函数f（x）=2cos（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$）+1
（1）f（x）的最小正周期：T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π；对称轴方程：$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z．即x=2kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z；
由$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．可得x=2kπ+$\frac{5π}{3}$，k∈Z．
对称中心的坐标：（2kπ+$\frac{5π}{3}$，1）．k∈Z．
（2）x∈[0，2π]，可得$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，2cos（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$）∈[-1，1]，
f（x）在区间[0，2π]的最大值和最小值：2，0．

点评 本题考查三角函数的化简求值，余弦函数的单调性对称性，以及函数得到周期的求法，考查计算能力．