Question

8．（1）已知复数z满足|z|=$\sqrt{2}$，z²的虚部为2，求复数z；
（2）求函数f（x）=e^x、直线x=2及两坐标轴围成的图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积．

Answer 1

分析 （1）设z=a+bi（a，b∈R）由已知条件得a²+b²=2，z²=a²-b²+2abi，结合z²的虚部为2，求复数z；
（2）本题要求的是一个旋转体的体积，看清组成图形的最主要的曲线，和组成图形的两个端点处的数据，用定积分写出体积的表示形式，得到结果．

解答 解：（1）设z=a+bi（a，b∈R）由已知条件得a²+b²=2，z²=a²-b²+2abi
∵z²的虚部为2，∴2ab=2，
∴a=b=1或a=b=-1，
即z=1+i或z=-1-i．（5分）
（2）f（x）=e^x、直线x=2及两坐标轴围成的图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积是
${∫}_{0}^{2}$π（e^x）²dx=$\frac{π}{2}{e}^{2x}{|}_{0}^{2}$=$\frac{π}{2}（{e}^{4}-1）$…（10分）

点评 本题考查复数的运算，考查用定积分求几何体的体积，属于中档题．