Question

3．已知定义域为R的函数$f（x）=\frac{{b-{2^x}}}{{{2^{x+1}}+a}}$是奇函数．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）解关于t的不等式f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用f（0）=0，f（-1）=-f（1），即可求a、b的值；
（Ⅱ）利用（x）在（-∞，+∞）上为减函数，f（x）是奇函数，即可解关于t的不等式f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0．

解答 解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，解得b=1，
所以$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{{2^{x+1}}+a}}$．
又由f（1）=-f（-1），解得a=2，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，
又因f（x）是奇函数，从而不等式f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0等价于f（t²-2t）＜-f（2t²1）=f（-2t²+1）．
因f（x）是减函数，由上式推得t²-2t＞-2t²+1，
即3t²-2t-1＞0解不等式可得t＞1或$t＜-\frac{1}{3}$，
故不等式的解集为：$\left\{{t\left|{t＞1或t＜-\frac{1}{3}}\right.}\right\}$．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生解不等式的能力，正确转化是关键．