Question

已知函数的周期为，图象的一个对称中心为，将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象。
（Ⅰ）求函数与的解析式
（Ⅱ）是否存在，使得按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定的个数，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）求实数与正整数，使得在内恰有2013个零点

Answer 1

（Ⅰ） （Ⅱ）存在（Ⅲ）当，时，函数在内恰有个零点

（Ⅰ）由函数的周期为，，得
又曲线的一个对称中心为，
故，得，所以
将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）后可得的图象，再将的图象向右平移个单位长度后得到函数
（Ⅱ）当时，，
所以
问题转化为方程在内是否有解
设，
则
因为，所以，在内单调递增
又，
且函数的图象连续不断，故可知函数在内存在唯一零点，
即存在唯一的满足题意
（Ⅲ）依题意，，令
当，即时，，从而不是方程的解，所以方程等价于关于的方程，
现研究时方程解的情况
令，
则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况
，令，得或
当变化时，和变化情况如下表
当且趋近于时，趋向于
当且趋近于时，趋向于
当且趋近于时，趋向于
当且趋近于时，趋向于
故当时，直线与曲线在内有无交点，在内有个交点；
当时，直线与曲线在内有个交点，在内无交点；
当时，直线与曲线在内有个交点，在内有个交点
由函数的周期性，可知当时，直线与曲线在内总有偶数个交点，从而不存在正整数，使得直线与曲线在内恰有个交点；当时，直线与曲线在内有个交点，由周期性，，所以
综上，当，时，函数在内恰有个零点
三角函数解析式的确定相对而言应该比较容易，也就是说即使是20题的第一问往往难度也不会太大，而我们同学可能因为时间的关系而丢掉了捡分的机会，所以建议大家可以先试看看此问是否熟悉，再做整体规划。三角函数的图像变换要千万注意左右平移只对x而言。而第二问对于是否等比的转化是处理的关键，所以函数思想无处不在，要善于运用。第三问从特殊到一般的思想是此问的灵魂，而此法的选择也因为参数分离后三角函数的周期性，所以万物皆有联系，只是平时要练就一双慧眼就不简单了。
【考点定位】 本题考查了三角函数的性质、恒等变换、图像以及函数的零点。将函数的所有性质依托于三角函数展示，并且对多方面能力的综合考查。属于难题，但第一问是送给学生的。