Question

17．若三点A（2，2），B（a，0），C（0，b）（a＞0，b＞0）共线，则2a+3b的取值范围为$[{10+4\sqrt{6}，+∞}）$．

Answer 1

分析 由三点共线可得即$\frac{2}{a}$+$\frac{2}{b}$=1，整体代入可得2a+3b=（2a+3b）（$\frac{2}{a}$+$\frac{2}{b}$），由基本不等式可得2a+3b的取值范围．

解答 解：∵三点A（2，2），B（a，0），C（0，b）（a＞0，b＞0）共线，
∴$\frac{0-2}{a-2}$=$\frac{b-2}{0-2}$，
即$\frac{2}{a}$+$\frac{2}{b}$=1，
∵a＞0，b＞0，
∴2a+3b=（2a+3b）（$\frac{2}{a}$+$\frac{2}{b}$）=4+6+$\frac{4a}{b}$+$\frac{6b}{a}$≥10+2$\sqrt{\frac{4a}{b}•\frac{6b}{a}}$=10+4$\sqrt{6}$，当且仅当$\frac{4a}{b}$=$\frac{6b}{a}$取等号，
故2a+3b的取值范围为：$[{10+4\sqrt{6}，+∞}）$．
故答案为：$[{10+4\sqrt{6}，+∞}）$．

点评 本题考查三点共线和基本不等式求最值，属基础题．