Question

已知椭圆两焦点坐标分别为,，一个顶点为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是否存在斜率为的直线，使直线与椭圆交于不同的两点，满足. 若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，

试题分析：（Ⅰ）由题意可得b和c，再根据，可求得。即可求出椭圆方程。（Ⅱ）由点斜式设出直线方程，然后联立，消掉y（或x）得到关于x的一元二次方程。因为有两个交点所以判别式大于0，再根据韦达定理得出根与系数的关系。已知，如用两点间距离公式，计算量非常大，故可多分析问题得到设线段中点为P，则有，可用直线位置关系列式计算，也可转化为向量用数量积计算，后边的方法计算较为简单。
试题解析：（Ⅰ）设椭圆方程为.则依题意
，，所以
于是椭圆的方程为                   4分
（Ⅱ）存在这样的直线. 依题意，直线的斜率存在
设直线的方程为，则
由得
因为得      ①
设，线段中点为，则
于是
因为，所以.
若，则直线过原点，，不合题意.
若，由得，，整理得     ②
由①②知，， 所以
又，所以.               14分