Question

8．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，O是正方形AA₁B₁B的中心，AB=2$\sqrt{2}$，C₁O⊥平面AA₁B₁B，且C₁O=2．
（1）设N为棱B₁C₁的中点，点M在平面AA₁B₁B内，且MN⊥平面A₁B₁C₁，求线段AM的长；
（2）求二面角A-BC-A₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立坐标系，设出M的坐标，根据线面垂直的性质定理，求出M的坐标即可得到结论．
（2）建立空间直角坐标系，求出对应平面的法向量，利用向量法进行求解即可．

解答 解：：（1）∵C₁O⊥平面AA₁B₁B，O是正方形AA₁B₁B的中心，
∴建立以O为原点，OA，OA₁，OC₁为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
∵AB=2$\sqrt{2}$，C₁O=2．
∴AB₁=4．
则OA=OA₁=2．
即A（2，0，0），A₁（0，2，0），C₁（0，0，2）．B₁（-2，0，0）．
则$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=（-2，-2，0），$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（0，-2，2），
若N为棱B₁C₁的中点，则N（-1，0，1）
设M（a，b，0），则$\overrightarrow{MN}$=（a+1，b，-1），
若MN⊥平面A₁B₁C₁，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2（a+1）-2b=0}\\{-2b-2=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a+1=-b}\\{b=-1}\end{array}\right.$，得a=0，b=-1，
即M（0，-1，0），则|AM|=$\sqrt{{2}^{2}+1}$=$\sqrt{5}$．
（2）$\overrightarrow{{C}_{1}C}$=$\overrightarrow{{A}_{1}A}$=（2，-2，0），$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（2，0，2），$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（0，4，0），
设平面ABC的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=2x+2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=-2x-2y=0}\end{array}\right.$，
令y=-1，则x=1，z=1，即为$\overrightarrow{m}$=（1，-1，-1），
设平面BCA₁B的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=2x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=4y=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x=-z}\\{y=0}\end{array}\right.$，
令x=1，则y=0，z=-1，即为$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1×1+（-1）×（-1）}{\sqrt{2}•\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
即二面角A-BC-A₁的余弦值是$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本小题主要考查线面垂直的应用以及线段的长度、二面角的求解，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力