已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若方程有解,求实数m的取值范围;
(3)若存在实数,使成立,求证:.
(1)递增区间为,递减区间为;(2);(3)详见解析.
解析试题分析:(1)对求导可得,令,或,由导数与单调性的关系可知,所以递增区间为,递减区间为;
(2)若方程有解有解,令,则原问题转化为求g(x)的值域,而m只要再g(x)的值域内即可。故对g(x)求导,则令,,所以在递增,在递减,,故;
(3)根据的结构,构造辅助函数,则由(2)知,在递增,在递减,由条件有,不妨设,则必有,于是,再利用反证法证明,假设,则,
即,令,则有,即 (*),、令.,因为恒成立,所以在上是增函数,所以,所以在上是减函数,故,时,,这与(*)矛盾!所以原不等式得证,即.
试题解析:解:(1), 1分
令,或 3分
所以递增区间为,递减区间为 4分
(2),令,则
令,,
所以在递增,在递减, 6分
,故 8分
(3)令,则由(2)知,在递增,在递减.
由条件有,不妨设,则必有,于是
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=x-aln x(a∈R).
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的极值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=x2-(1+2a)x+aln x(a为常数).
(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在x=1处切线的方程;
(2)当a>0时,讨论函数y=f(x)在区间(0,1)上的单调性,并写出相应的单调区间.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=.
(1)函数f(x)在点(0,f(0))的切线与直线2x+y-1=0平行,求a的值;
(2)当x∈[0,2]时,f(x)≥恒成立,求a的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知f(x)=xln x,g(x)=x3+ax2-x+2.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求f(x)在区间[t,t+2](t>0)上的最小值;
(3)对一切的x∈(0,+∞),2f(x)<g′(x)+2恒成立,求实数a的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设函数f(x)=(x+1)ln x-2x.
(1)求函数的单调区间;
(2)设h(x)=f′(x)+,若h(x)>k(k∈Z)恒成立,求k的最大值.
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