Question

设函数f(x)=

3

sinxcosx+cos2x+a．
（1）写出函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，函数f（x）的最大值与最小值的和为

3

2

，求a的值．

Answer 1

解（1）f(x)=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

+a=sin(2x+

π

6

)+a+

1

2

，（2分）
∴T=π．（4分）
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，得

π

6

+kx≤x≤

2π

3

+kπ．
故函数f（x）的单调递减区间是[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ](k∈Z)．                 （6分）
（2）∵-

π

6

≤x≤

π

3

，∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

．∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1．（8分）
当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，原函数的最大值与最小值的和(1+a+

1

2

)+(-

1

2

+a+

1

2

)=

3

2

，∴a=0（12分）