Question

已知数列{a_n}前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2(n=1，2，3，…)，数列{a_n}中，b₁=1，点P(b_n，b_n+1)在直线x-y+2=0上.

(Ⅰ)求数列{a_n},{b_n}的通项a_n和b_n；

(Ⅱ)若T_n为数列{b_n}的前n项和，求证：当n≥2，n∈ N^*时，2S_n＞T_n+3n.

Answer 1

(Ⅰ)∵S_n=2a_n-2,S_n-1=2a_n-1-2,

又S_n-S_n-1=a_n,(n≥2,n∈N^*)

∴a_n=2a_n-2a_n-1,∵a_n≠0

∴=2,(n≥2,n∈N^*),即数列{a_n}是等比数列

∵a₁=S₁,∴a₁=2a₁-2,即a₁=2,∴a_n=2ⁿ 

∵点P（b_n,b_n+1）在直线x-y+2=0上,∴b_n-b_n+1+2=0

∴b_n+1-b_n=2,即数列{b_n}是等差数列，

又b₁=1,∴b_n=2n-1 

(Ⅱ)由已知S_n==2ⁿ⁺¹-2,T_n==n²

即：证明不等式2ⁿ⁺²＞n²+3n+4,(n≥2,n∈N^*) 

用数学归纳法证明

①当n=2时,2ⁿ⁺²=2²⁺²=16,

n²+3n+4=2²+3·2+4=14不等式成立；

②假设当n=k(k≥2)时，原不等式成立,

即:2^k+2＞k²+3k+4成立

那么当n=k+1时,2^k+3＞2k²+6k+8

∵k≥2,∴k²+k＞0,

∴2k²+6k+8＞k²+5k+8=(k+1)²+3(k+1)+4

即发n=k+1时，2^(k+1)+2＞(k+1)²+3(k+1)+4成立

综合①②可得原不等式成立