Question

函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

)的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g(x)=[f(x-

π

12

)]2，求函数g（x）在x∈[-

π

6

，

π

3

]上的最大值，并确定此时x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由图读出A，最高点到时左边第一个零点的横坐标的差的绝对值为四分之一周期，求出周期T，进而求出ω，代入点的坐标求出φ，得f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）的解析式，把x-

π

12

代入求f（x-

π

12

），进而求出g（x），利用降幂公式得一个角一个三角函数值，由x的范围，求出3x+

π

4

的范围，借助余弦函数的图象，求出cos（3x+

π

4

）的范围，进一步求出最大值．

解答：解：（Ⅰ）由图知A=2，

T

4

=

π

3

，则

2π

ω

=4×

π

3

∴ω=

3

2

∴f（x）=2sin（

3

2

x+φ），∴2sin（

3

2

×

π

6

+φ）=2，
∴sin（

π

4

+φ）=1，∴

π

4

+φ=

π

2

，∴φ=

π

4

，
∴f（x）的解析式为f(x)=2sin(

3

2

x+

π

4

)
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f(x-

π

12

)=2sin[

3

2

(x-

π

12

)+

π

4

]=2sin(

3

2

x+

π

8

)
∴g(x)=[f(x-

π

12

)]2=4×

1-cos(3x+ π 4 )

2

=2-2cos(3x+

π

4

)
∵x∈[-

π

6

，

π

3

]∴-

π

4

＜3x+

π

4

＜

5π

4

∴当3x+

π

4

=π即x=

π

4

时，g（x）_max=4

点评：给出条件求y=Asin（ωx+φ）的解析式，条件不管以何种方式给出，一般先求A，再求ω，最后求φ；求三角函数最值时，一般要把式子化为y=Asin（ωx+φ）+B或y=Acos（ωx+φ）+B的形式，从x的范围由里向外扩，一直扩到Asin（ωx+φ）+B或Acos（ωx+φ）+B的范围，即函数f（x）的值域，数形结合，看ωx+φ为多少时，取得最值．用到转化化归的思想．