Question

10．求下列函数的值域：
（1）y=-x²+2x+3；
（2）y=-x²+2x+3，x∈[0，3）；
（3）y=-x²+2x+3，x∈（1，3）；
（4）y=-x²+2x+3，x∈（-3，$\frac{1}{2}$]；
（5）y=-x²+2x+3，x∈（-2，+∞）．

Answer 1

分析 对该函数配方便得到y=-（x-1）²+4，然后可结合该函数的图象，根据取得顶点情况，端点的值的比较，以及根据该二次函数的单调性即可求出该二次函数在不同定义域上的值域．

解答 解：（1）y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4≤4；
∴该函数的值域为：（-∞，4]；
（2）设y=f（x）=-（x-1）²+4；
∴f（3）＜f（x）≤f（1）；
∴0＜f（x）≤4；
∴该函数的值域为（0，4]；
（3）设y=f（x），该函数在（1，3）上单调递减；
∴f（3）＜f（x）＜f（1）；
∴0＜f（x）＜4；
∴该函数的值域为：（0，4）；
（4）设y=f（x），该函数在$（-3，\frac{1}{2}]$上单调递增；
∴$f（-3）＜f（x）≤f（\frac{1}{2}）$；
∴$-12＜f（x）≤\frac{15}{4}$；
∴该函数的值域为：$（-12，\frac{15}{4}]$；
（5）x=1时，该函数取最大值4，x＞1时该函数单调递减，函数值趋向负无穷；
∴该函数的值域为（-∞，4]．

点评 考查函数值域的概念，配方法求二次函数的值域，根据二次函数的单调性及取得顶点情况及端点值的比较从而求出该二次函数值域的方法，可结合该二次函数的图象．