Question

20．设函数f（x）=ax+$\frac{1}{2}$xln²x．
（1）若a=0，求f（x）的单调增区间；
（2）若x∈[1，e]时，有f（x）≤ax²成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过将a=0代入化简可知f（x）=$\frac{1}{2}$xln²x，进而求导，解不等式f′（x）＞0即得结论；
（2）通过分析，问题转化为证明当x∈（1，e]时a≥$\frac{l{n}^{2}x}{2（x-1）}$恒成立即可，令g（x）=$\frac{l{n}^{2}x}{2（x-1）}$，进而转化为求（1，e]上g（x）的最大值问题，求导、计算即得结论．

解答 解：（1）依题意，当a=0时f（x）=$\frac{1}{2}$xln²x，
求导，可知f′（x）=$\frac{1}{2}$ln²x+$\frac{1}{2}$x•2lnx•$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{2}$ln²x+lnx=$\frac{1}{2}$（lnx+1）²-$\frac{1}{2}$，
令f′（x）＞0即（lnx+1）²＞1，解得：x＞1或0＜x＜$\frac{1}{{e}^{2}}$，
故函数f（x）的单调增区间为：（1，+∞）和（0，$\frac{1}{{e}^{2}}$）；
（2）依题意，当x∈[1，e]时，有ax+$\frac{1}{2}$xln²x≤ax²成立，
∴当x∈[1，e]时$\frac{1}{2}$ln²x≤a（x-1）恒成立，
又∵当x=1时，显然成立；
∴只需证明当x∈（1，e]时a≥$\frac{l{n}^{2}x}{2（x-1）}$恒成立即可，
令g（x）=$\frac{l{n}^{2}x}{2（x-1）}$，则g′（x）=$\frac{\frac{4（x-1）lnx}{x}-2l{n}^{2}x}{4（x-1）^{2}}$=$\frac{lnx}{2x（x-1）^{2}}$•[2（x-1）-xlnx]，
令h（x）=2（x-1）-xlnx，则h′（x）=2-lnx-1=1-lnx，
∵x∈（1，e]，
∴lnx∈（0，1]，h′（x）=1-lnx∈（-1，0]，
∴h（x）≥h（e）=2（e-1）-elne=e-2＞0，
∴g′（x）＞0，即g（x）=$\frac{l{n}^{2}x}{2（x-1）}$在（1，e]上单调递增，
∴g_max（x）=g（e）=$\frac{l{n}^{2}e}{2（e-1）}$=$\frac{1}{e-1}$，
∴实数a的取值范围是[$\frac{1}{e-1}$，+∞）．

点评 本题考查利用导数研究闭区间上的最值，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．