Question

函数.
（1）令，求的解析式；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：.

Answer 1

（1）；（2）实数的取值范围;（3）详见解析.

试题分析：（1）因为,故, ,,,由此可得,是以4为周期,重复出现,故;（2）若在上恒成立，求实数的取值范围,由得,,即在上恒成立，令,只需求出在上的最小值即可,可利用导数法来求最小值;（3）证明：,由（2）知：时，,即,这样得到，令，叠加即可证出．
试题解析：(1)…周期为4，
.
（2）方法一：即在上恒成立，
当时，；
当时，，设，
，
设，
，则时，增；减.
而，所以在上存在唯一零点，设为，则
,所以在处取得最大值，在处取得最小值，.
综上：.
方法二：设，.
.
当时，在上恒成立，成立，故；
当时，在上恒成立，得，无解.
当时，则存在使得时增，时减，
故，，解得，故.
综上：.
（3）由（2）知：时，
即.
当时，，
，

=，
.