Question

4．已知函数f（x）=$\frac{\sqrt{|x|}}{{e}^{x}}$（x∈R），若关于x的方程f²（x）-$\frac{1}{2}$mf（x）+$\frac{1}{2}$m-1=0恰好有4个不相等的实根，则m的取值范围是（　　）

• A． （2，$\frac{\sqrt{2e}}{e}$+2）
• B． （1，$\frac{\sqrt{2e}}{e}$+1）
• C． （1，$\frac{\sqrt{2e}}{2e}$+1）
• D． （2，$\frac{\sqrt{2e}}{2e}$+2）

Answer 1

分析 令g（x）=f²（x），判断g（x）的单调性，从而得出f（x）的单调性，设f（x）=t，得出方程f（x）=t的解的情况，从而得出关于t的方程t²-$\frac{1}{2}$mt+$\frac{1}{2}$m-1=0的根的分布情况，利用二次函数的性质列出不等式组即可解出m的范围．

解答 解：设g（x）=f²（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{{e}^{2x}}，x≥0}\\{-\frac{x}{{e}^{2x}}，x＜0}\end{array}\right.$，
则g′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-2x}{{e}^{2x}}，x≥0}\\{\frac{2x-1}{{e}^{2x}}，x＜0}\end{array}\right.$，
∴当x＜0或x$＞\frac{1}{2}$时，g′（x）＜0，当0$＜x＜\frac{1}{2}$时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，$\frac{1}{2}$）上单调递增，在（$\frac{1}{2}$，+∞）上单调递减，
∵f（x）=$\frac{\sqrt{|x|}}{{e}^{x}}$≥0，f²（x）=g（x），
∴f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，$\frac{1}{2}$）上单调递增，在（$\frac{1}{2}$，+∞）上单调递减，
作出f（x）的大致函数图象如图所示：

设f（x）=t，
则当t＜0时，方程f（x）=t无解，
当t=0或t＞$\frac{\sqrt{2e}}{2e}$时，方程f（x）=t有1解，
当t=$\frac{\sqrt{2e}}{2e}$时，方程f（x）=t有2解，
当0＜t＜$\frac{\sqrt{2e}}{2e}$时，方程f（x）=t有3解．
∵关于x的方程f²（x）-$\frac{1}{2}$mf（x）+$\frac{1}{2}$m-1=0恰好有4个不相等的实根，
∴关于t的方程t²-$\frac{1}{2}$mt+$\frac{1}{2}$m-1=0在（0，$\frac{\sqrt{2e}}{2e}$）和（$\frac{\sqrt{2e}}{2e}$，+∞）∪{0}上各有1解．
若t=0为方程t²-$\frac{1}{2}$mt+$\frac{1}{2}$m-1=0的解，则m=2，此时方程的另一解为t=1∉（0，$\frac{\sqrt{2e}}{2e}$），不符合题意．
∴关于t的方程t²-$\frac{1}{2}$mt+$\frac{1}{2}$m-1=0在（0，$\frac{\sqrt{2e}}{2e}$）和（$\frac{\sqrt{2e}}{2e}$，+∞）上各有1解．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}m-1＞0}\\{\frac{1}{2e}-\frac{\sqrt{2e}m}{4e}+\frac{1}{2}m-1＜0}\end{array}\right.$，解得2＜m＜2+$\frac{\sqrt{2e}}{e}$．
故选A．

点评 本题考查了函数的单调性的判断与极值计算，二次函数的性质，属于中档题．