Question

12．已知函数f（x）=|x+1|-|x|+a．
（1）若不等式f（x）≥0的解集为空集，求实数a的取值范围；
（2）若方程f（x）=x有三个不同的解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得即 g（x）＜-a恒成立，作出函数g（x）的图象，求得函数g（x）的最大值为g（x）_max=1，可得-a＞1，∴从而求得a的范围．
（2）在同一坐标系内作出函数g（x）=|x+1|-|x|图象和y=x的图象，由题意可知，把函数y=g（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位），则它与y=x的图象始终有3个交点，从而得到a的范围．

解答 解：（1）令g（x）=|x+1|-|x|，则由题意可得f（x）≥0的解集为∅，即g（x）≥-a的解集为∅，
即 g（x）＜-a恒成立．
∵$g（x）=|x+1|-|x|=\left\{\begin{array}{l}-1，x＜-1\\ 2x+1，-1≤x＜0\\ 1，x≥0\end{array}\right.$，作出函数g（x）的图象，
由图可知，函数g（x）的最小值为g（x）_min=-1；函数g（x）的最大值为g（x）_max=1．
∴-a＞1，∴a＜-1，
综上，实数a的取值范围为（-∞，-1）．
（2）在同一坐标系内作出函数g（x）=|x+1|-|x|图象和y=x的图象如下图所示，由题意可知，
把函数y=g（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与y=x的图象始终有3个交点，
从而-1＜a＜0．

点评 本题主要考查分段函数的应用，函数的恒成立问题，方程根的存在性以及个数判断，属于中档题．