Question

7．如图，四边形ABCD为菱形，四边形ACEF为平行四边形，设BD与AC相交于点G，AB=BD=2，AE=$\sqrt{3}$，∠EAD=∠EAB．
（1）证明：平面ACEF⊥平面ABCD；
（2）若∠EAG=60°，求三棱锥F-BDE的体积．

Answer 1

分析 （1）连接EG，说明BD⊥AC，证明BD⊥EG，推出BD⊥平面ACFE，然后证明平面ACEF⊥平面ABCD；
（2）说明点F到平面BDE的距离为点C到平面BDE的距离的两倍，利用V_F-BDE=2V_C-BDE，转化求解三棱锥F-BDE的体积即可．

解答 解：（1）证明：

连接EG，
∵四边形ABCD为菱形，
∵AD=AB，BD⊥AC，DG=GB，
在△EAD和△EAB中，
AD=AB，AE=AE，∠EAD=∠EAB，
∴△EAD≌△EAB，
∴ED=EB，
∴BD⊥EG，
∵AC∩EG=G，
∴BD⊥平面ACFE，
∵BD?平面ABCD，
∴平面ACEF⊥平面ABCD；
（2）∵EF∥GC，EF=2GC，∴点F到平面BDE的距离为点C到平面BDE的距离的两倍，
所以V_F-BDE=2V_C-BDE，
作EH⊥AC，∵平面ACEF⊥平面ABCD，EH⊥平面ABCD，
∴V_C-BDE=V_E-BCD=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴三棱锥F-BDE的体积为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．