Question

20．已知G点为△ABC的重心，设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足$\overrightarrow{BG}$⊥$\overrightarrow{CG}$，若$\frac{a^2}{cosA}=λbc$则实数λ=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 如图，连接AG，延长交AG交BC于D，由于G为重心，故D为中点，CG⊥BG，可得DG=$\frac{1}{2}$BC，由重心的性质得，AD=3DG，即AD=$\frac{3}{2}$BC，利用余弦定理可得：AC²+AB²=2BD²+2CD²，即b²+c²=5a²，由$\frac{a^2}{cosA}=λbc$，可得λ=$\frac{2{a}^{2}}{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}$．

解答 解：如图，连接AG，延长交AG交BC于D，
由于G为重心，故D为中点，
∵CG⊥BG，∴DG=$\frac{1}{2}$BC，
由重心的性质得，AD=3DG，即AD=$\frac{3}{2}$BC，
由余弦定理得，AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos∠ADC，
AB²=AD²+BD²-2AD•BDcos∠ADB，
∵∠ADC+∠BDC=π，CD=BD，
∴AC²+AB²=2BD²+2AD²，
∴AC²+AB²=$\frac{1}{2}$BC²+$\frac{9}{2}$BC²=5BC²，
∴b²+c²=5a²，
∵$\frac{a^2}{cosA}=λbc$，∴λ=$\frac{2{a}^{2}}{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{2{a}^{2}}{5{a}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了余弦定理、三角形重心性质、中线长定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．