【题目】在如图所示的六面体中,四边形是边长为
的正方形,四边形
是梯形,
,平面
平面
,
,
.
(1)在图中作出平面 与平面
的交线,并写出作图步骤,但不要求证明;
(2)求证:平面
;
(3)求平面与平面
所成角的余弦值
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)
【解析】
(1)延长与
相交于点
,连接
,根据公理
和公理
可知,
即是所求.
(2)通过证明四边形是平行四边形,证得
,由此证得
平面
.
(3)利用勾股定理计算出,建立空间直角坐标系,通过平面
和平面
的法向量,计算出二面角的余弦值.
(1)延长与
相交于点
,连接
,则直线
就是平面
与平面
的交线.
(2)因为,
,所以
是
的中位线,故
,
因为,所以
,且
,
所以四边形是平行四边形,所以
,
因为面
,
面
,
所以平面
.
(3)在平面内,过点
作
的平行线交
于点
,又
,所以四边形
为平行四边形,所以
,
,
,又因为
,所以
,
所以为直角三角形,
且,
,
.
在平面内,过点
作
的垂线交
于点
,
又因为平面平面
,平面
平面
,
所以面
.
以为坐标原点,
的方向为
轴正方向,
的方向为
轴正方向,
的方向为
轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系
.
则,
,
,
,所以
,
,设
是平面
的法向量,
则,即
,所以可取
.
因为是平面
的法向量,
所以,
所以平面与平面
所成角的余弦值
.
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【题目】如图,在三棱锥P-ABC中,平面平面ABC,
,
.
(1)若,求证:平面
平面PBC;
(2)若PA与平面ABC所成的角为,求二面角C-PB-A的余弦值.
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【题目】唐三彩是中国古代陶瓷烧制工艺的珍品,它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点,在中国文化中占有重要的历史地位,在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔.唐三彩的生产至今已有1300多年的历史,制作工艺十分复杂,而且优质品检验异常严格,检验方案是:先从烧制的这批唐三彩中任取 3件作检验,这3件唐三彩中优质品的件数记为.如果
,再从这批唐三彩中任取3件作检验,若都为优质品,则这批唐三彩通过检验;如果
,再从这批唐三彩中任取1件作检验,若为优质品,则这批唐三彩通过检验;其他情况下,这批唐三彩都不能通过检验.假设这批唐三彩的优质品概率为
,即取出的每件唐三彩是优质品的概率都为
,且各件唐三彩是否为优质品相互独立.
(1)求这批唐三彩通过优质品检验的概率;
(2)已知每件唐三彩的检验费用为100元,且抽取的每件唐三彩都需要检验,对这批唐三彩作质量检验所需的总费用记为元,求
的分布列及数学期望.
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【题目】已知双曲线C:(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±
x,右顶点为(1,0).
(1)求双曲线C的方程;
(2)已知直线y=x+m与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点为,当x0≠0时,求
的值.
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【题目】光伏发电是利用太阳能电池及相关设备将太阳光能直接转化为电能.近几年在国内出台的光伏发电补贴政策的引导下,某地光伏发电装机量急剧上涨,如下表:
某位同学分别用两种模型:①②
进行拟合,得到相应的回归方程并进行残差分析,残差图如下(注:残差等于
):
经过计算得,
.
(1)根据残差图,比较模型①,②的拟合效果,应该选择哪个模型?并简要说明理由.
(2)根据(1)的判断结果及表中数据建立y关于x的回归方程,并预测该地区2020年新增光伏装机量是多少.(在计算回归系数时精确到0.01)
附:归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,
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【题目】七巧板是古代中国劳动人民发明的一种中国传统智力玩具,它由五块等腰直角三角形,一块正方形和一块平行四边形共七块板组成.清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道:近又有七巧图,其式五,其数七,其变化之式多至千余.体物肖形,随手变幻,盖游戏之具,足以排闷破寂,故世俗皆喜为之.如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线
:
,过抛物线焦点
且与
轴垂直的直线与抛物线相交于
、
两点,且
的周长为
.
(1)求抛物线的方程;
(2)若直线过焦点
且与抛物线
相交于
、
两点,过点
、
分别作抛物线
的切线
、
,切线
与
相交于点
,求:
的值.
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【题目】如图,已知椭圆的离心率为
,
分别是椭圆的左右焦点,点
是椭圆上任意一点,且
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)在直线上是否存在点Q,使以
为直径的圆经过坐标原点O,若存在,求出线段
的长的最小值,若不存在,请说明理由.
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