【题目】已知函数(
).
(1)写出函数的值域,单调区间(不必证明);
(2)是否存在实数使得
的定义域为
,值域为
?若存在,求出实数
的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)当时,若
,
单调递减;
,
递减的;值域为
.当
时,在
和
内
是单调递增的.此时值域为
.
(2).
【解析】试题分析:
(1)由对数函数的性质可求得函数的定义域,在定义域内讨论
的单调性,结合对数函数与复合函数的性质可得
的单调区间,同时得值域;(2)根据函数的单调性知当
时有
,可看成
为方程
的两个根,且
,再根据二次方程根的分布知识可得
的范围,同理
时,有
,则有
,两式相减得:
,不合题意,从而得出结论.
试题解析:
(1)
,定义域为:
,
且,
,
,则
为奇函数;
当时,若
,
单调递增,则
单调递减;同理,
,
也是递减的;此时值域为
.
当时,
在
和
内是单调递增的,所以
是单调递增的.此时值域为
.
(2)当,因为定义域为
,
在定义域内两个子区间上是单调递减的,
则有
,可看成
为方程
的两个根,且
,又根据
,则有对称轴
,
有两个根在
,需满足
,解得:
;
当,因为定义域为
,
是单调递增的,
则有
,则有
,两式相减得:
,不满足题意,所以
..
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【题目】学校餐厅每天供应500名学生用餐,每星期一有A、B两种菜可供选择.调查表明,凡是在这星期一选A种菜的,下星期一会有20%改选B种菜;而选B种菜的,下星期一会有30%改选A菜.用an , bn分别表示在第n个星期选A的人数和选B的人数,若a1=300,则a20=( )
A.260
B.280
C.300
D.320
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【题目】已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为
,短轴长为
,直线
与椭圆
交于
、
两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与圆
相切,探究
是否为定值,如果是定值,请求出该定值;如果不是定值,请说明理由.
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【题目】如下图,三棱柱中,侧面
底面
,
,且
,O为
中点.
(Ⅰ)证明: 平面
;
(Ⅱ)求直线与平面
所成角的正弦;
(Ⅲ)在上是否存在一点
,使得
平面
,若不存在,说明理由;若存在,确定点
的位置.
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【题目】已知过原点的动直线与圆
相交于不同的两点
.
(1)求线段的中点
的轨迹
的方程;
(2)是否存在实数,使得直线
与曲线
只有一个交点?若存在,求出
的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知椭圆C的方程为+
=1,A、B为椭圆C的左、右顶点,P为椭圆C上不同于A、B的动点,直线x=4与直线PA、PB分别交于M、N两点;若D(7,0),则过D、M、N三点的圆必过x轴上不同于点D的定点,其坐标为________.
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【题目】已知椭圆 ()的焦距为4,左、右焦点分别为
,且
与抛物线
:
的交点所在的直线经过
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过
的直线
与
交于
两点,与抛物线
无公共点,求
的面积的取值范围.
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【题目】一企业从某生产线上随机抽取件产品,测量这些产品的某项技术指标值
,得到的频率分布直方图如图.
(1)估计该技术指标值平均数
;
(2)在直方图的技术指标值分组中,以落入各区间的频率作为
取该区间值的频率,若
,则产品不合格,现该企业每天从该生产线上随机抽取
件产品检测,记不合格产品的个数为
,求
的数学期望
.
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