Question

已知直线l₁的方向向量为

a

=（1，3），且过点A（-2，3），将直线x-2y-1=0绕着它与x轴的交点B按逆时针方向旋转一个锐角α（tanα=

1

3

）得到直线l₂，直线l₃：kx-y-2k+3=0．（k∈R）．
（1）求直线l₁和直线l₂的方程；
（2）当直线l₁，l₂，l₃所围成的三角形的面积为3时，求直线l₃的方程．

Answer 1

考点：直线的一般式方程,直线的截距式方程

专题：直线与圆

分析：（1）由已知条件利用点斜率式方程能求出直线l₁的方程；设直线x-2y-1=0的倾斜角为β，则l₂的斜率k=tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

1 2 + 1 3

1- 1 2 • 1 3

=1，由此能求出l₂的方程．
（2）直线l₃：kx-y-2k+3=0，过定点A（2，3），由

3x-y+9=0 x-y-1=0

，得直线l₁，l₂的交点C（-5，-6），点A到l₂的距离为d=

|2-3-1||

2

=

2

．由

x-y-1=0 kx-y-2k+3=0

，得直线l₃，l₂的交点B（

2k-5

k-1

，

k-4

k-1

），由直线l₁，l₂，l₃所围成的三角形的面积为3，得|BC|=3

2

，由此能求出l₃的方程．

解答： 解：（1）∵直线l₁的方向向量为

a

=（1，3），且过点A（-2，3），
∴直线l₁：y-3=3（x+2），整理，得3x-y+9=0．（2分）
将直线x-2y-1=0绕着它与x轴的交点B按逆时针方向旋转一个锐角α（tanα=

1

3

）得到直线l₂，
设直线x-2y-1=0的倾斜角为β，B（1，0），
则l₂的斜率k=tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

1 2 + 1 3

1- 1 2 • 1 3

=1，
∴l₂的方程为：y=x-1，整理得x-y-1=0．（5分）
（2）∵直线l₃：kx-y-2k+3=0，即（x-2）k+（3-y）=0，
∴l₃过定点A（2，3），（7分）
由

3x-y+9=0 x-y-1=0

，得直线l₁，l₂的交点C（-5，-6），（9分）
点A到l₂的距离为d=

|2-3-1||

2

=

2

．（10分）
由

x-y-1=0 kx-y-2k+3=0

，得直线l₃，l₂的交点B（

2k-5

k-1

，

k-4

k-1

），
∵直线l₁，l₂，l₃所围成的三角形的面积为3，
∴

1

2

×

2

×|BC|=3，解得|BC|=3

2

，
∴|BC|=3

2

=

( 2k-5 k-1 +5)2+( k-4 k-1 +6)2

解得k=

7

4

或k=

13

10

，
∴l₃的方程：7x-4y-2=0，（12分）
或13x-10y+4=0．（14分）

点评：本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．