Question

等差数列{a_n}，a₁=25，a₆=15，数列{b_n}的前n项和为S_n=2b_n-2．（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）求数列{

an

bn

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由等差数列通项公式利用已知条件求出首项和公差，由此能求出a_n=-2n+27；由S_n=2b_n-2，推导出数列{b_n}是以2为首项，公比为2的等比数列，从而得到bn=2n．
（2）由

an

bn

=

-2n+27

2n

，利用错位相减法能求出数列{

an

bn

}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则a_n=a₁+（n-1）d，
∴d=

a6-a1

6-1

=-2，
∴a_n=25+（n-1）×（-2）=-2n+27，
∵S_n=2b_n-2，∴n=1时，b₁=2b₁-2，解得b₁=2，
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=2b_n-2b_n-1，
即b_n=2b_n-1，
∴数列{b_n}是以2为首项，公比为2的等比数列，
∴bn=2n．
（2）由（1）知数列

an

bn

=

-2n+27

2n

，
Tn=

a1

b1

+

a2

b2

+…+

an

bn

=

25

2

+

23

22

+…+

-2n+27

2n

，①

1

2

Tn=

25

22

+

23

23

+…+

-2n+29

2n

+

-2n+27

2n+1

，②
①-②，得：

1

2

Tn=

25

2

-2(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-

-2n+27

2n+1

，
∴

1

2

Tn=

25

2

-(1-

1

2n-1

)-

-2n+27

2n+1

，
∴Tn=23+

2n-23

2n

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．