Question

已知△ABC中，AC=1，∠ABC=

2π

3

，∠BAC=x，记f（x）=

AB

•

BC

．
（1）求f（x）解析式并标出其定义域；
（2）设g（x）=6mf（x）+1，若g（x）的值域为（1，

3

2

]，求实数m的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）利用正弦定理可得BC，AB，再利用数量积运算可得f（x），利用三角形的内角和定理可得其定义域；
（2）对m分类讨论，利用正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）由正弦定理有：

BC

sinx

=

1

sin 2π 3

=

AB

sin( π 3 -x)

；
∴BC=

1

sin 2π 3

sinx，AB=

sin( π 3 -x)

sin 2π 3

；
∴f(x)=

AB

•

BC

=

4

3

sinx•sin(

π

3

-x)•

1

2

=

2

3

(

3

2

cosx-

1

2

sinx)sinx
=

1

3

sin(2x+

π

6

)-

1

6

，
∵0＜x＜π-

2π

3

，∴0＜x＜

π

3

，即函数f（x）的定义域为(0，

π

3

)．
（2）g（x）=6mf（x）+1=2msin(2x+

π

6

)-m+1(0＜x＜

π

3

)，
∵x∈(0，

π

3

)，∴

π

6

＜2x+

π

6

＜

5π

6

，则sin(2x+

π

6

)∈(

1

2

，1]．
当m＞0时，g(x)=2msin(2x+

π

6

)-m+1的值域为（1，m+1]．
又g（x）的值域为(1，

3

2

]，解得  m=

1

2

；
当m＜0时，g(x)=2msin(2x+

π

6

)-m+1的值域为[m+1，1）．
此时m的值不存在．
综上可得：m=

1

2

．

点评：本题考查了正弦定理、数量积运算、三角形的内角和定理、正弦函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．