Question

已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足

AD

DB

=

CE

EA

=

1

2

．将△ADE沿DE折起到△₁ADE的位置，并使得平面A₁DE⊥平面BCED．
（Ⅰ）求证：A₁D⊥EC；
（Ⅱ）求三棱锥E-A₁CD的高．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的性质

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）等边△ABC的边长为3，且

AD

DB

=

CE

EA

=

1

2

，求得AD和AE的值．进而由余弦定理得DE，根据AD²+DE²=AE²，判断AD⊥DE折叠后A₁D⊥DE，根据平面A₁DE⊥平面BCED，又平面利用线面垂直的判定定理推断出A₁D⊥平面BCED，进而可知A₁D⊥EC．
（Ⅱ）求出S_△DEC，DC，利用等体积，即可求三棱锥E-A₁CD的高．

解答： （Ⅰ）证明：因为等边△ABC的边长为3，且

AD

DB

=

CE

EA

=

1

2

，
所以AD=1，AE=2．在△ADE中，∠DAE=60°，
由余弦定理得DE=

3

．
因为AD²+DE²=AE²，
所以AD⊥DE．
折叠后有A₁D⊥DE，
因为平面A₁DE⊥平面BCED，又平面A₁DE∩平面BCED=DE，
A₁D?平面A₁DE，A₁D⊥DE，所以A₁D⊥平面BCED
故A₁D⊥EC．…（6分）
（2）因为S△ABC=

9 3

4

，S△ADE=

1

2

×1×2sin60°=

3

2

，S△DBC=

1

2

×3×2sin60°=

3 3

2

所以S_△DEC=S_△ABC-S_△ADE-S_△DBC=

9 3

4

-

3

2

-

3 3

2

=

3

4

…（8分）
又DC²=BD²+BC²-2BD•BCcos60°=4+9-6=7，所以DC=

7

…（9分）
A₁D⊥平面BCED，设三棱锥E-A₁CD的高为h，则

1

3

•

3

4

•A₁D=

1

3

•

1

2

•

7

•A₁D•h，所以h=

21

14

所以三棱锥E-A₁CD的高为

21

14

…（12分）

点评：本题综合考查了线面垂直与平行的判定与性质定理及三棱锥E-A₁CD的高，考查了推理能力，属于中档题．