Question

甲、乙两人射击，已知甲每次击中目标的概率为

1

4

，乙每次击中目标的概率为

1

3

．
（1）两人各射击一次，求至少有一人击中目标的概率；
（2）若制定规则如下：两人轮流射击，每人至多射击2次，甲先射，若有人击中目标即停止射击．
①求乙射击次数不超过1次的概率；
②记甲、乙两人射击次数和为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,互斥事件的概率加法公式,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（1）利用互斥概率的公式计算即可，
（2）①利用互斥概率的公式计算即可
②甲、乙两人射击次数和为ξ，ξ的取值为1，2，3，4．列出分布列，求出数学期望．

解答： 解：（1）事件A=“甲每次击中目标“，事件B=“乙每次击中目标“．
故两人各射击一次，至少有一人击中目标的概率P=1-P(

.

AB

)=1-(1-

1

4

)×(1-

1

3

)=

1

2

；
（2）①乙射击次数不超过1次的对立事件是“乙射击2次”，
所以乙射击次数不超过1次的概率P=1-P（

.

A

•

.

B

•

.

A

）=1-

3

4

×

2

3

×

3

4

=

5

8

；
②甲、乙两人射击次数和为ξ，ξ的取值为1，2，3，4．
P（ξ=1）=P（A）=

1

4

，
P（ξ=2）=P（

.

A

•B）=

3

4

×

1

3

=

1

4

，
P（ξ=3）=P（

.

A

•

.

B

•A）=

3

4

×

2

3

×

1

4

=

1

8

，
P（ξ=4）=P(

.

A

•

.

B

•

.

A

)=

3

4

×

2

3

×

3

4

=

3

8

，
则分布列为：

ξ	1	2	3	4
P	1 4	1 4	1 8	3 8

甲乙射击总次数ξ的数学期望为：E（ξ）=1×

1

4

+2×

1

4

+3×

1

8

+4×

3

8

=

21

8

．

点评：本题考查互斥事件、相互独立事件的概率计算，离散型随机变量的数学期望的求法，属于中档题．