Question

在数列{a_n}中，a₁+

a2

r

+

a3

r2

+…+

an

rn-1

=9-6n（r是非零常数），求数列{a_n}的通项公式和前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：当n=1时，可求得a₁=3，当n≥2时，分r=1与r≠1讨论，可求得数列{a_n}的通项公式，继而可求得其前n项和．

解答： 解：令n=1可得a₁=9-6×1=3；
①当r=1时，a₁+a₂+…+a_n=9-6n，
所以a₁+a₂+…+a_n-1=9-6（n-1）=15-6n（n≥2），
两式相减得：a_n=9-6n-（15-6n）=-6（n≥2）；
但a_n=-6不满足a₁=3，
所以a₁=3，故a_n=

3，n=1 -6，n≥2

．
此时，S_n=a₁+a₂+…+a_n=9-6n；
②当r≠1时，a₁+

a2

r

+

a3

r2

+…+

an

rn-1

=9-6n，
所以a₁+

a2

r

+

a3

r2

+…+

an-1

rn-2

=9-6（n-1）=15-6n（n≥2），
两式相减得：

an

rn-1

=9-6n-（15-6n）=-6，
所以a_n=-6×r^n-1（n≥2），
但a_n=-6不满足a₁=3，所以a₁=3，
故a_n=

3，n=1 -6×rn-1，n≥2

．
所以S_n=a₁+a₂+…+a_n=3+（-6）×r+（-6）×r²+（-6）×r³+…+（-6）×r^n-1
=3-6×（r+r²+r³+…+r^n-1）
=3-6[

r(1-rn-1)

1-r

]=3-

6r-6rn

1-r

．

点评：本题考查数列的递推关系与数列的求和，着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，考查运算推理能力，属于难题．