Question

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁底面ABCD直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，P是棱CD上一点，AB=2，AD=

2

，AA₁=3，CP=3，PD=1．
（1）求直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧面积和体积；
（2）求证：PB⊥平面BCC₁B₁．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）先通过梯形面积公式求得底面的面积，最后利用体积公式求得四棱锥的体积；过B作BM⊥CD交CD于M，分别求得BM，MC和BC，最后求得四个侧面的面积相加即可求得棱锥的侧面积．
（2）先分别求得PC₁，BC₁和PB利用勾股定理证明出PB⊥BC₁，然后根据线面垂直的性质证明出B₁B⊥PB．最后根据线面垂直的判定定理证明出PB⊥平面BCC₁B₁．

解答： 解：（1）底面直角梯形的面积S=

1

2

（AB+CD）•AD=3

2

，V=S•AA₁=9

2

，
过B作BM⊥CD交CD于M，在Rt△BMC中，BM=

2

，MC=2，则BC=

6

，
侧面积S_侧=（

2

+2+

6

+4）×3=18+3

2

+3

6

．
（2）∵PC₁=

32+32

=3

2

，BC₁=

6-32

=

15

，PB=

2+1

=

3

∴P

C

2 1

=PB²+B

C

2 1

，
∴PB⊥BC₁，
∵B₁B⊥平面ABCD，
∴B₁B⊥PB．
又B₁B∩BC=B，
∴PB⊥平面BCC₁B₁．

点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理的应用以及几何体的体积的运算．考查了学生空间观察能力和运算能力．