Question

11．设函数f（x）的定义域和值域均为[0，+∞），且对任意x∈[0，+∞），$\sqrt{x}$，$\frac{\sqrt{f（x）}}{2}$，$\sqrt{3}$都成等差数列，又正项数列{a_n}中，a₁=3，其前n项和S_n满足S_n+1=f（Sn）（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若$\sqrt{{b}_{n}}$是$\frac{3}{{a}_{n+1}}$，$\frac{3}{{a}_{n}}$的等比中项，求数列{b_n}前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由$\sqrt{x}$，$\frac{\sqrt{f（x）}}{2}$，$\sqrt{3}$都成等差数列，可得$\sqrt{f（x）}=\sqrt{x}+\sqrt{3}$，结合S_n+1=f（Sn），得到数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}构成以$\sqrt{{S}_{1}}=\sqrt{3}$为首项，以$\sqrt{3}$为公差的等差数列，求得${S}_{n}=3{n}^{2}$．得当n≥2时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=3{n}^{2}-3（n-1）^{2}=6n-3$．验证首项后得答案；
（2）$\sqrt{{b}_{n}}$是$\frac{3}{{a}_{n+1}}$，$\frac{3}{{a}_{n}}$的等比中项，得则${b}_{n}=\frac{9}{{a}_{n+1}{a}_{n}}=\frac{9}{（6n+3）（6n-3）}=\frac{1}{（2n+1）（2n-1）}$，然后利用裂项相消法求得数列{b_n}前n项和T_n．

解答 解：（1）∵$\sqrt{x}$，$\frac{\sqrt{f（x）}}{2}$，$\sqrt{3}$成等差数列，∴$\sqrt{f（x）}=\sqrt{x}+\sqrt{3}$，
则f（x）=x+3+$2\sqrt{3x}$，
又正项数列{a_n}中，a₁=3，其前n项和S_n满足S_n+1=f（Sn），
∴${S}_{n+1}={S}_{n}+3+2\sqrt{3}\sqrt{{S}_{n}}$=$（\sqrt{{S}_{n}}+\sqrt{3}）^{2}$，
即$\sqrt{{S}_{n+1}}=\sqrt{{S}_{n}}+\sqrt{3}$．
∴数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}构成以$\sqrt{{S}_{1}}=\sqrt{3}$为首项，以$\sqrt{3}$为公差的等差数列，
则$\sqrt{{S}_{n}}=\sqrt{3}+（n-1）•\sqrt{3}=\sqrt{3}n$，
∴${S}_{n}=3{n}^{2}$．
当n≥2时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=3{n}^{2}-3（n-1）^{2}=6n-3$．
a₁=3适合上式，
∴a_n=6n-3；
（2）若$\sqrt{{b}_{n}}$是$\frac{3}{{a}_{n+1}}$，$\frac{3}{{a}_{n}}$的等比中项，
则${b}_{n}=\frac{9}{{a}_{n+1}{a}_{n}}=\frac{9}{（6n+3）（6n-3）}=\frac{1}{（2n+1）（2n-1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴T_n=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查数列的函数特性，考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．