Question

已知a＜2，f(x)=x-alnx-

a-1

x

，g(x)=

1

2

x2+ex-xex．（注：e是自然对数的底）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若存在x₁∈[e，e²]，使得对任意的x₂∈[-2，0]，f（x₁）＜g（x₂）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）由题意可得f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=

(x-1)[x-(a-1)]

x2

∵a＜2，∴a-1＜1
①当a-1≤0，即a≤1，∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
②当0＜a-1＜1，即1＜a＜2，∴x∈（0，a-1）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，x∈（a-1，1）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；
综上所述，当a≤1时，f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）；当1＜a＜2时，f（x）的单调减区间是（a-1，1），单调增区间是（0，a-1），（1，+∞）；
（2）由题意，存在x₁∈[e，e²]，使得对任意的x₂∈[-2，0]，f（x₁）＜g（x₂）恒成立，等价于对任意x₁∈[e，e²]及x₂∈[-2，0]，f（x）_min＜g（x）_min，
由（1），当a＜2，x₁∈[e，e²]时，f（x）是增函数，f（x）_min=f（e）=e-a-

a-1

e

∵g′（x）=x（1-e^x），对任意的x₂∈[-2，0]，g′（x）≤0
∴g（x）是奇函数，∴g（x）_min=g（0）=1
∴e-a-

a-1

e

＜1
∴a＞

e2-e+1

e+1

∵a＜2
∴

e2-e+1

e+1

＜a＜2