Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，点(n，

Sn

n

)(n∈N*)均在函数y=3x-2的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

3

anan+1

，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜

m

20

对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

Answer 1

分析：（1）由点(n，

sn

n

)在y=3x-2的图象上，得

sn

n

=3n-2，即s_n=3n²-2n；由a_n=S_n-S_n-1可得通项公式，须验证n=1时，a_n也成立．
（2）由（1）知，b_n=

3

anan+1

=…=

1

2

(

1

6n-5

-

1

6n+1

)；求和T_n=

n

i=1

bi，可得

1

2

(1-

1

6n+1

)；令

1

2

(1-

1

6n+1

)＜

m

20

(n∈N*)；即

1

2

≤

m

20

，解得m即可．

解答：解：（1）依题意，点(n，

sn

n

)在y=3x-2的图象上，得

sn

n

=3n-2，∴s_n=3n²-2n；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（3n²-2n）-[3（n-1）²-2（n-1）]=6n-5  ①；
当n=1时，a₁=S₁=3×1²-2=1，适合①式，所以，a_n=6n-5 （n∈N^*）
（2）由（1）知，b_n=

3

anan+1

=

3

(6n-5)[6(n+1)-5]

=

1

2

(

1

6n-5

-

1

6n+1

)；
故T_n=

n

i=1

bi=

1

2

[(1-

1

7

)+(

1

7

-

1

13

)+…+(

1

6n-5

-

1

6n+1

)]=

1

2

(1-

1

6n+1

)；
因此，使

1

2

(1-

1

6n+1

)＜

m

20

(n∈N*)成立的m，必须且仅须满足

1

2

≤

m

20

，即m≥10；
所以，满足要求的最小正整数m为10．

点评：本题考查了数列与函数的综合应用，用拆项法求数列前n项和以及数列与不等式综合应用问题，属于中档题．