Question

【题目】设函数.

（Ⅰ）讨论的极值；

（Ⅱ）若曲线和曲线在点处有相同的切线，且当时，，求的取值范围 .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）求出导函数，然后根据参数的取值判断出函数的单调性，进而得到极值．（Ⅱ）由两曲线的切线相同得，设，根据，解得．然后由得，再根据两根的大小对函数的单调性进行分类讨论，通过分析是否满足题意可得所求参数的范围．

（Ⅰ）∵，

∴．

①当时，恒成立，所以在上单调递增，无极值．

②当时，由得，

且当时，单调递减；当时，单调递增．

所以当时，有极小值，且，无极大值．

③当时，由得，

且当时，单调递增；当时，单调递减．

所以当时，有极大值，且，无极小值．

综上所述，当时，无极值；

当时，，无极大值；

当时， ，无极小值．

（Ⅱ）由题意得，

∵和在点处有相同的切线，

∴，即，解得，

∴．

令，

则，

由题意可得，解得．

由得．

①当，即时，则，

∴当时，单调递减；当时，单调递增，

∴上的最小值为，∴恒成立．

②当，即时，则，

∴当时，在上单调递增，

又，

∴当时，，即恒成立．

③当，即时，

则有，

从而当时，不可能恒成立．

综上所述的取值范围为．