Question

已知直角梯形ABCD中∠DAB=90°，AD∥BC，AB=2，AD=

3

2

，BC=

1

2

，椭圆F以A、B为焦点且经过点D．
（1）建立适当坐标系，求椭圆F的方程；
（2）若点E满足

EC

=

1

2

AB

，是否存在不平行于AB的直线L与椭圆F交于M、N两点，且|ME|=|NE|？若存在，求出直线L与AB夹角的范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）考虑先以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设椭圆F方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1，则由题意可得c=1，D（-1，

3

2

）在椭圆上代入可求a，b，从而可求椭圆得方程     
（2）由

EC

=

1

2

AB

可求E（0，

1

2

），若L⊥AB，则与题意不符，可设L：y=kx+m（k≠0），由直线与椭圆有2个交点可得△＞0，即4k²+3＞m²，利用方程根与系数关系可求x0=

x1+x2

2

=-

4km

3+4k2

，y0=kx0+m=

3m

3+4k2

，可得4k2+3＞(-

3+4k2

2

)2从而可求

解答：解：（1）如图，以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴
建立平面直角坐标系，则A（-1，0），B（1，0）．c=1
设椭圆F方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1
，D（-1，

3

2

）在椭圆上代入可得

c=1 b2 a = 3 2

⇒

a=2 b= 3

∴椭圆F的方程是：

x2

4

+

y2

3

=1．             （7分）
（2）由

EC

=

1

2

AB

得：E（0，

1

2

），若L⊥AB，则与题意不符，
故可设L：y=kx+m（k≠0）
由　

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0，
若M、N存在，则△＞0即64k²m²-4（3+4k²）•（4m²-12）＞0，4k²+3＞m²，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点F（x₀，y₀），
则x0=

x1+x2

2

=-

4km

3+4k2

，y0=kx0+m=

3m

3+4k2

，
∴4k2+3＞(-

3+4k2

2

)2∴4k²+3＜4
∴0＜k2＜

1

4

∴-

1

2

＜k＜

1

2

且k≠0
∴L与AB的夹角的范围是（0，arctan

1

2

）．       （14分）

点评：利用椭圆（抛物线、双曲线）得性质求解相应的方程是圆锥曲线得常考试题，解题的关键是要灵活利用圆锥曲线的性质．