【题目】已知函数.
(1)若,求函数
的所有零点;
(2)若,证明函数
不存在极值.
【答案】(1) (2)见证明
【解析】
(1)首先将代入函数解析式,求出函数的定义域,之后对函数求导,再对导函数求导,得到
(当且仅当
时取等号),从而得到函数
在
单调递增,至多有一个零点,因为
,
是函数
唯一的零点,从而求得结果;
(2)根据函数不存在极值的条件为函数在定义域上是单调函数,结合题中所给的参数的取值范围,得到在
上单调递增,从而证得结果.
(1)解:当 时,
,
函数的定义域为
,
且.
设,
则
.
当时,
;当
时,
,
即函数在
上单调递减,在
上单调递增,
所以当时,
(当且仅当
时取等号).
即当时,
(当且仅当
时取等号).
所以函数在
单调递增,至多有一个零点.
因为,
是函数
唯一的零点.
所以若,则函数
的所有零点只有
.
(2)证法1:因为,
函数的定义域为
,且
.
当时,
,
由(1)知.
即当时
,
所以在
上单调递增.
所以不存在极值.
证法2:因为,
函数的定义域为
,且
.
设,
则
.
设 ,则
与
同号.
当 时,由
,
解得,
.
可知当时,
,即
,当
时,
,即
,
所以在
上单调递减,在
上单调递增.
由(1)知.
则.
所以,即
在定义域上单调递增.
所以不存在极值.
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【题目】已知椭圆 离心率等于
,
、
是椭圆上的两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)是椭圆上位于直线
两侧的动点.当
运动时,满足
,试问直线
的斜率是否为定值?如果为定值,请求出此定值;如果不是定值,请说明理由.
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【题目】在直角坐标系中,倾斜角为
的直线
的参数方程为
(
为参数).在以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求直线的普通方程与曲线
的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线
交于
,
两点,且
,求直线
的倾斜角.
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【题目】2017年5月,来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”:高铁、扫码支付、共享单车和网购.乘坐高铁可以网络购票,为了研究网络购票人群的年龄分布情况,在5月31日重庆到成都高铁9600名网络购票的乘客中随机抽取了120人进行了统计并记录,按年龄段将数据分成6组:,得到如图所示的直方图:
(1)若从总体的9600名网络购票乘客中随机抽取一人,估计其年龄大于35岁的概率;
(2)试估计总体中年龄在区间内的人数;
(3)试通过直方图,估计5月31日当天网络购票的9600名乘客年龄的中位数.
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【题目】已知函数f(x)=x2+mx+n(m,n∈R)满足f(0)=f(1),且方程x=f(x)有两个相等的实数根.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当x∈[0,3]时,求函数f(x)的值域.
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【题目】给出下列说法:
(1)命题“,
”的否定形式是“
,
”;
(2)已知,则
;
(3)已知回归直线的斜率的估计值是2,样本点的中心为,则回归直线方程为
;
(4)对分类变量与
的随机变量
的观测值
来说,
越小,判断“
与
有关系”的把握越大;
(5)若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后,则样本的方差不变.
其中正确说法的个数为( )
A.2B.3C.4D.5
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【题目】已知平面上动点P到定点的距离比P到直线
的距离大1.记动点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点的直线
交曲线C于A、B两点,点A关于x轴的对称点是D,证明:直线
恒过点F.
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【题目】黄金分割比例具有严格的比例性,艺术性,和谐性,蕴含着丰富的美学价值.这一比值能够引起人们的美感,被称为是建筑和艺术中最理想的比例.我们把离心率
的椭圆称为“黄金椭圆”,则以下四种说法中正确的个数为( )
①椭圆是“黄金椭圆;
②若椭圆,
的右焦点
且满足
,则该椭圆为“黄金椭圆”;
③设椭圆,
的左焦点为F,上顶点为B,右顶点为A,若
,则该椭圆为“黄金椭圆”;
④设椭圆,,
的左右顶点分别A,B,左右焦点分别是
,
,若
,
,
成等比数列,则该椭圆为“黄金椭圆”;
A.1B.2C.3D.4
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