Question

18．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°PA=PD=AD=2BC=2，$CD=\sqrt{3}，PB=\sqrt{6}$，Q是AD的中点．
（Ⅰ）求证：平面PQ⊥底面ABCD；
（Ⅱ）求三棱锥C-PBD的体积．

Answer 1

分析 （I）由PA=PD=AD=2，Q是AD的中点．可得PQ⊥AD，PQ=$\sqrt{3}$．连接QB，由底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，BC=QD，可得四边形BCDQ是矩形，BQ=$\sqrt{3}$．利用勾股定理的逆定理可得：PQ⊥QB，即可证明．
（II）由（I）可得：PQ⊥底面ABCD；可得：PQ是三棱锥P-BCD的底面BCD上的高．利用V_C-PBD=V_P-BCD=$\frac{1}{3}PQ•{S}_{△BCD}$即可得出．

解答 （I）证明：∵PA=PD=AD=2，Q是AD的中点．
∴PQ⊥AD，PQ=$\sqrt{3}$．
连接QB，∵底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，BC=QD，
∴四边形BCDQ是矩形，∴BQ⊥AD，BQ=$\sqrt{3}$．
∴PQ²+QB²=PB²，
∴PQ⊥QB，
又AD∩QB=Q，
∴PQ⊥底面ABCD；
（II）解：由（I）可得：PQ⊥底面ABCD；
∴PQ是三棱锥P-BCD的底面BCD上的高．
S_△BCD=$\frac{1}{2}BC•CD$=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴V_C-PBD=V_P-BCD=$\frac{1}{3}PQ•{S}_{△BCD}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质定理、正三角形的性质、勾股定理的逆定理、矩形的性质、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．