Question

已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,一个顶点的坐标为A(0,-1),且其右焦点到直线x-y+2=0的距离为3.

(1)求椭圆的方程.

(2)是否存在斜率为k(k≠0)的直线l,使l与已知曲线交于不同两点M、N,且有|AM|=|AN|?若存在,求k的范围;若不存在,请说明理由.

Answer 1

解析:(1)设椭圆方程为=1(a＞b＞0),

∴b=1,右焦点F(c,0)(c＞0).

∴3=.

∴c=,即a²=b²+c²=3.

故椭圆方程为+y²=1.

(2)假设满足条件的直线存在且设其方程为y=kx+m(k≠0),

由

消去y得(1+3k²)x²+6kmx+3m²-3=0.

∵Δ=(6km)²-4(1+3k²)(3m²-3)＞0,

∴m²＜3k²+1.                                                         ①

设M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂),P(x₀,y₀)是MN的中点,

则x₀==-,y₀=.

∵|AM|=|AN|,∴AP⊥MN.

∴.∴m=.                           ②

由①②得()²＜3k²+1,

即3k⁴-2k²-1＜0,(3k²+1)(k²-1)＜0,

∴k²-1＜0,-1＜k＜1.

又k≠0,∴存在斜率为k,k∈(-1,0)∪(0,1)的直线l,使直线l与椭圆有两个交点M、N,且使|AM|=|AN|.