Question

设点F（1，0），M点在x轴上，点P在y轴上，且

MN

=2

MP

，PM⊥PF，当点P在y轴上运动．
（1）求点N的轨迹C的方程．
（2）设Q为直线x+1=0上的动点，过Q作C的两条切线l₁，l₂，切点分别为A与B
     ①证明：l₁⊥l₂；
     ②证明：直线AB过定点．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）先确定坐标之间的关系，再利用PM⊥PF，即可求点N的轨迹C的方程．
（2）①求出切线l₁，l₂的方程，利用Q为直线x+1=0上的动点，可得

y2

y1

=

x2-1

x1-1

，将x₁=

y12

4

，x₂=

y22

4

，代入整理，即可证明结论；
②设AB所在直线方程为my=x+n，代入y²=4x，由韦达定理知，y₁y₂=4n，即可得出结论．

解答： （1）解：依题知，P是线段MN的中点，设M（a，0）（a＜0），P（0，b），N（x，y）
则

x+a=0 y=2b

，∵PM⊥PF，∴

PM

?

PF

=0，即a+b²=0，∴y²=4x为所求．…（4分）
（2）证明：①设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（-1，t）
则l₁的方程为y₁y=2（x₁+x）；l₂的方程为y₂y=2（x₂+x）
∴ty₁=2（x₁-1），ty₂=2（x₂-1），
∴

y2

y1

=

x2-1

x1-1

，将x₁=

y12

4

，x₂=

y22

4

代入整理得y₁y₂=-4   …（8分）
∴k₁k₂=

4

y1y2

=-1，∴l₁⊥l₂；            …（10分）
②设AB所在直线方程为my=x+n，代入y²=4x，消去x整理得
y²-4my+4n=0，由韦达定理知，y₁y₂=4n
∴4n=-4，n=-1，即AB所在直线方程为my=x-1
于是直线AB过定点F（1，0）…（12分）

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查直线AB过定点，正确运用韦达定理是关键．