Question

根据下列条件，写出椭圆方程：
（1）中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为

1

2

、长轴长为8；
（2）和椭圆9x²+4y²=36有相同的焦点，且经过点（2，-3）；
（3）中心在原点，焦点在x轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近顶点的距离是

10

-

5

．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由已知条件推导出

c a = 1 2 2a=8

，由此分椭圆焦点在x轴和焦点在y轴两种情况，能求出椭圆方程．
（2）由已知条件设所求椭圆方程为

x2

a2-5

+

y2

a2

=1，把（2，-3）代入，能求出椭圆方程．
（3）由已知条件设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），且

b=c a-c= 10 - 5 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆方程．

解答： 解：（1）∵椭圆的中心在原点、以对称轴为坐标轴，
离心率为

1

2

，长轴长为8，
∴

c a = 1 2 2a=8

，
解得a=4，c=2，
∴b²=16-4=12，
∴当椭圆焦点在x轴时，椭圆方程为：

x2

16

+

y2

12

=1；
当椭圆焦点在y轴时，椭圆方程为：

x2

12

+

y2

16

=1．
（2）椭圆9x²+4y²=36化为标准方程：

x2

4

+

y2

9

=1，
∴由题意知所求椭圆的焦点坐标为F₁（0，-

5

），F₂（0，

5

），
设所求椭圆方程为

x2

a2-5

+

y2

a2

=1，
把（2，-3）代入，得：

4

a2-5

+

9

a2

=1，
整理，得a⁴-18a²+45=0，
解得a²=15或a²=3（舍），
∴所求椭圆方程为

x2

13

+

y2

18

=1．
（3）由已知条件设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
且

b=c a-c= 10 - 5 a2=b2+c2

，解得a=

10

，b=c=

5

，
∴所求的椭圆方程为

x2

10

+

y2

5

=1．

点评：本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用．