【题目】已知函数(, 是自然对数的底数).
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】试题分析: (Ⅰ)先求出函数的导函数,将代入可得在此切点处的斜率,再由曲线方程可求出切点坐标,利用点斜式式写出切线方程; (Ⅱ)求出的导函数函数,令为,再求的导函数,去判断的单调性,再进一步判断的单调性,可求出的最小值,将恒成立问题转为关于的不等式即可.注意对的分类讨论.
试题解析:(Ⅰ)当时,有,
则.
又因为,
∴曲线在点处的切线方程为,即.
(Ⅱ)因为,令
有()且函数在上单调递增
当时,有,此时函数在上单调递增,则
(ⅰ)若即时,有函数在上单调递增,
则恒成立;
(ⅱ)若即时,则在存在,
此时函数在 上单调递减, 上单调递增且,
所以不等式不可能恒成立,故不符合题意;
当时,有,则在存在,此时上单调递减, 上单调递增所以函数在上先减后增.
又,则函数在上先减后增且.
所以不等式不可能恒成立,故不符合题意;
综上所述,实数的取值范围为.
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【题目】如图,在四棱锥E﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=1,AE⊥平面CDE, ,F为线段DE上的一点.
(1)求证:平面AED⊥平面ABCD;
(2)若二面角E﹣BC﹣F与二面角F﹣BC﹣D的大小相等,求DF的长.
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【题目】如图,A、B两点都在河的对岸(不可到达),为了测量A、B两点间的距离,选取一条基线CD,A、B、C、D在一平面内.测得:CD=200m,∠ADB=∠ACB=30°,∠CBD=60°,则AB=( )
A. m
B.200 m
C.100 m
D.数据不够,无法计算
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【题目】为了解某校学生的视力情况,现采用随机抽样的方法从该校的两班中各抽取名学生进行视力检测,检测的数据如下:
班名学生的视力检测结果:
班名学生的视力检测结果:
(Ⅰ)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪个班的学生的视力较好?并计算班的名学生视力的方差;
(Ⅱ)现从班的上述名学生中随机选取名,求这名学生中至少有名学生的视力低于的概率.
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【题目】设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且△AB1B2是面积为1的直角三角形.
(1)求该椭圆的离心率和标准方程;
(2)点M为该椭圆上任意一点,求|MA|的取值范围.
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【题目】如图所示,正三角形所在平面与梯形所在平面垂直, , , 为棱的中点.
(1)求证: 平面;
(2)求证: 平面;
(3)若直线与平面所成角的正切值为,求二面角的余弦值.
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【题目】如图所示,正三角形所在平面与梯形所在平面垂直, , , 为棱的中点.
(1)求证: 平面;
(2)若直线与平面所成的角为30°,求三棱锥的体积.
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【题目】公元年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形的面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,其中表示圆内接正多边形的边数,执行此算法输出的圆周率的近似值依次为 ( )
(参考数据: )
A. 2.598,3,3.1048 B. 2.598,3,3.1056
C. 2.578,3,3.1069 D. 2.588,3,3.1108
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【题目】潮州统计局就某地居民的月收入调查了人,并根据所得数据画了样本的频率分
布直方图(每个分组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示收入在)。
(1)求居民月收入在的频率;
(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数;
(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系,必须按月收入再从这人中分层抽样方法抽出人作进一步分析,则月收入在的这段应抽多少人?
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