Question

【题目】如图所示，正三角形所在平面与梯形所在平面垂直， ， ， 为棱的中点.

（1）求证: 平面；

（2）求证： 平面；

（3）若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）

【解析】【试题分析】（1）运用线面平行的判定定理进行推证；（2）依据题设运用线面垂直的判定定理进行推证；（3）先建立空间直角坐标系，再运用向量的数量积工具进行求解：

（1）如图，取中点，连接，因为为中点，所以且， ，所以且，所以四边形为平行四边形，所以.

平面， 平面，∴平面.

（2）又因为为正三角形，所以，

又因为面面，面面. 面，

所以面， .又因为，所以面，所以面.

（3）

取中点，再连接.易证面，所以为直线与平面所成的角，即，设，可求得.

以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， ，

所以，

设平面的法向量为，则，令，得

，所以，

设面的法向量为，则，令，得， ，

所以，所以，

因为二面角为钝角，其余弦值为.