Question

如图，已知椭圆C₁：

x2

8

+

y2

4

=1的焦点分别为F₁，F₂，双曲线C₂：

x2

4

-

y2

4

=1，设P
为双曲线上异于顶点的任意一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D．
（Ⅰ）设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，求：k₁•k₂的值；
（Ⅱ）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：圆锥曲线的综合

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）求出直线PF₁、PF₂的斜率，利用P为双曲线

x2

4

-

y2

4

=1上异于顶点的任意一点，化简即可得出结论．
（Ⅱ）问题等价于

1

|AB|

+

1

|CD|

=λ，即

1

|AB|

+

1

|CD|

是否是定值问题，利用韦达定理求得弦长，化简，即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），则k1=

y0

x0+2

，k2=

y0

x0-2

．
∵P为双曲线

x2

4

-

y2

4

=1上异于顶点的任意一点，
∴x02-y02=4，
∴k1k2=

y0

x0+2

•

y0

x0-2

=

y02

x02-4

=1，即k₁•k₂=1；
（Ⅱ）由于直线PF₁的方程是y=k₁（x+2），代入椭圆方程并整理得（1+2k₁²）x²+8k₁²x+8k₁²-8=0．
∴x₁+x₂=-

8k12

2k12+1

，x₁x₂=

8k12-8

2k12+1

∴|AB|=

1+k12

•

(x1+x2)2-4x1x2

=4

2

•

k12+1

2k12+1

同理可得|CD|=4

2

•

k22+1

2k22+1

．
 则

1

|AB|

+

1

|CD|

=

1

4 2

•(

2k12+1

k12+1

+

2k22+1

k22+1

)
又k₁k₂=1
∴

1

|AB|

+

1

|CD|

=

1

4 2

(

2k12+1

k12+1

+

k12+2

k12+1

)=

3 2

8

故|AB|+|CD|=

3 2

8

|AB|•|CD|
因此，存在λ=

3 2

8

，使|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．

点评：本题考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．