Question

已知函数f（x）=x³+2x²+x-4，g（x）=ax²+x-8．若?x∈[0，+∞）都有f（x）≥g（x），则实数a的取值范围（　　）

• A、（-∞，5]
• B、[5，+∞）
• C、(-

  1

  3

  ，+∞)
• D、(-∞，-

  1

  3

  )

Answer 1

分析：由题意知此题为恒成立问题，要求?x∈[0，+∞）都有f（x）≥g（x），首先构造函数H（x）=f（x）-g（x），利用导数求H（x）在[0，+∞）上的最小值，因为两个极值点大小没法判断，于是要进行分类讨论，所求最小值含有a，只要令H_min（x）＞0，解出a的范围即可．

解答：解：构造函数H（x）=f（x）-g（x）=x³+（2-a）x²+4，
只要证明H（x）在[0，+∞）上的最小值大于等于0即可；
H′（x）=3x²+2（2-a）x=x（3x+4-2a），令H′（x）=0得，
x₁=0，x₂=

2a-4

3

，
①若a＞2时，x₂＞0；当0＜x＜x₂时，H′（x）＜0，H（x）为减函数；
当x＞x₂时，H′（x）＞0，H（x）为增函数；
H（x）在x=x₂处取极小值，也是最小值，H_min（x₂）=H（

2a-4

3

）=

(2a-4)3

27

+(2-a)×

(2a-4)2

9

+4，
令H_min（x₂）≥0，解得a≤5，综上2＜a≤5；
②若a≤2时，x₂＜0；当x≥0时，H′（x）＞0，H（x）为增函数；
H（x）在x=0处取极小值，也是最小值，H_min（x₂）=H（0）=4＞0，恒成立；
∴a≤2，
综上①②得a≤5．
故选A．

点评：解此题的关键是构造函数H（x），将恒成立问题转化为函数求导求最值问题，是解此题的一般思路，另外此题还用到分类讨论的思想．