Question

【题目】设，函数.

（1）求函数的单调增区间；

（2）试讨论函数的零点个数.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）2

【解析】

（1）通过导函数的正负来判断的单调增区间（2）讨论参数，利用求导来判断函数的单调性，然后再通过最小值和的比较来判断零点.

（1）若，，函数定义域为

当时，单调递减；当时，单调递增.

若，，，根据函数定义域知.

若，，则有，此时单调递增.

若，当时，有，此时单调递减；

当时，有，此时单调递增.

综上，若，单调递增区间为，

若，单调递增区间为，

若，单调递增区间为.

（2）若，有最小值，此时有一个零点.

若，.

又因为单调递增，所以只有一个零点.

若，是的最小值点，

当时，，不存在零点.

当时，，有一个零点.

当时，，而.并且当时，有，此时单调递减，故在必存在一个零点.

而， 当时，有，此时单调递增.故在必存在一个零点.

综上，有两个零点.